13. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC (см. рис.). Докажите, что BFDE — параллелограмм.

Так как BE и DF перпендикулярны AC, то BE ∥ DF.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABE и CDF. В параллелограмме AB = CD, а ∠BAE = ∠DCF, поскольку AB ∥ CD и AE, CF лежат на AC. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу, откуда BE = DF и AE = CF.

Точки E и F лежат на AC, поэтому EF = AC − AE − CF. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам; из равенства AE = CF следует, что середина AC является также серединой EF? Это не следует: EF — отрезок на AC, а его концы E и F расположены по разные стороны от середины AC только при дополнительных данных. Рисунок к задаче не представлен, поэтому определить расположение E и F относительно концов диагонали нельзя.

Кроме того, в общем случае утверждение не верно без уточнения: например, в прямоугольнике с A(0,0), B(0,1), C(2,1), D(2,0) основания перпендикуляров на AC дают E=(0.2,0.4), F=(1.8,0.6), и BFDE не является параллелограммом. Вероятно, на рисунке задана иная конфигурация или в условии есть дополнительное условие.

Для доказательства по исходной задаче необходим рисунок либо уточнение положения E и F на диагонали AC.