13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону ВС на отрезки ВК = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите длину стороны DC.

Дано: Прямоугольник ABCD.

• Биссектриса угла D делит ВС на отрезки: ВК = 6 см, СК (остальная часть ВС).
• Периметр (P) = 48 см.

Найти: Длину стороны DC.

Решение:

1. Свойства прямоугольника:
• Противоположные стороны равны: AB = DC, BC = AD.
• Все углы прямые (90 градусов).
2. Свойства биссектрисы:
• Биссектриса делит угол пополам.
• В прямоугольнике ABCD, биссектриса угла D (пусть будет DK, где K на BC) делит угол D (90 градусов) на два угла по 45 градусов (∠ADK = ∠KDC = 45°).
3. Рассмотрим треугольник KDC:
• Угол ∠C = 90° (так как ABCD - прямоугольник).
• Угол ∠KDC = 45° (по условию, биссектриса).
• Сумма углов в треугольнике = 180°, значит ∠DKC = 180° - 90° - 45° = 45°.
• Так как в треугольнике KDC два угла равны (∠KDC = ∠DKC = 45°), то этот треугольник равнобедренный.
• Следовательно, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: DC = CK.
4. Используем информацию о периметре:
• Периметр прямоугольника P = 2 * (DC + BC).
• 48 = 2 * (DC + BC).
• 24 = DC + BC.
5. Составим уравнение, используя найденные зависимости:
• Мы знаем, что BC = BK + CK.
• Так как DC = CK, то BC = BK + DC.
• Подставим это в уравнение для полупериметра: 24 = DC + (BK + DC).
• 24 = DC + BK + DC.
• 24 = 2 * DC + BK.
• Подставим значение BK = 6 см:
• 24 = 2 * DC + 6.
• 2 * DC = 24 - 6.
• 2 * DC = 18.
• DC = 18 / 2.
• DC = 9 см.

Ответ: 9 см