14. Найдите синус острого угла прямоугольной трапеции, меньшая боковая сторона которой равна 5 см, а разность оснований – 12 см.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция \( ABCD \), где \( AD ∥ BC \) и \( AB ⊥ AD \) (следовательно \( AB ⊥ BC \)).

Меньшая боковая сторона — это \( AB = 5 \) см.

Основания — \( AD \) и \( BC \). Пусть \( AD > BC \).

Разность оснований \( AD - BC = 12 \) см.

Проведем высоту \( BH \) из вершины \( B \) к основанию \( AD \). Тогда \( BH = AB = 5 \) см.

\( HBCD \) — прямоугольник, поэтому \( HD = BC \).

\( AD - BC = AD - HD = AH \).

Значит, \( AH = 12 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). Его катеты \( AB = 5 \) см и \( AH = 12 \) см.

Гипотенуза \( BH \) (которая является боковой стороной трапеции) равна:

\( BH = √{AB^2 + AH^2} = √{5^2 + 12^2} = √{25 + 144} = √{169} = 13 \) см.

У нас получился прямоугольный треугольник \( ABH \) с катетами \( AB=5 \) и \( AH=12 \), и гипотенузой \( BH=13 \).

Остроугольные углы трапеции — это \( ∠ BAH \) (который равен 90°) и \( ∠ BHA \).

Нас просят найти синус острого угла. В прямоугольной трапеции есть один острый угол (если основания не равны). Это угол, прилежащий к большему основанию. В нашем случае это угол \( ∠ BDA \) или \( ∠ BHA \).

Синус угла \( ∠ BHA \) равен отношению противолежащего катета \( AB \) к гипотенузе \( BH \).

\( ∅ ∠ BHA = \frac{AB}{BH} = \frac{5}{13} \).

Ответ: ⅕⁄⅓