12. Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона - 15. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Периметр равнобедренного треугольника \( P = 2a + b \), где \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.

Дано: \( P = 48 \) см, \( a = 15 \) см.

Найдем основание \( b \):

\( 48 = 2 · 15 + b \).

\( 48 = 30 + b \).

\( b = 48 - 30 = 18 \) см.

Теперь найдем высоту \( h \), опущенную на основание. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит его пополам. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой \( a = 15 \) см и катетом \( \frac{b}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) см.

По теореме Пифагора найдем высоту \( h \):

\( h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2 \).

\( h^2 + 9^2 = 15^2 \).

\( h^2 + 81 = 225 \).

\( h^2 = 225 - 81 = 144 \).

\( h = √{144} = 12 \) см.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} · b · h \).

\( S = \frac{1}{2} · 18 · 12 = 9 · 12 = 108 \) см².

Ответ: 108 см²