13. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

Дан треугольник \( \triangle ABC \) с \( \angle A = 40° \) и \( \angle C = 60° \).

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём \( \angle B \):

\( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 40° - 60° = 80° \).

1. Высота ВН:

В \( \triangle BHC \) (прямоугольный, \( \angle BHC = 90° \)), \( \angle HBC = 90° - \angle C = 90° - 60° = 30° \).

2. Биссектриса BD:

Биссектриса \( BD \) делит \( \angle B \) пополам:

\( \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{80°}{2} = 40° \).

3. Угол между высотой ВН и биссектрисой BD:

Нам нужно найти \( \angle HBD \). Из рисунка видно, что \( \angle HBD = \angle DBC - \angle HBC \) (предполагая, что \( H \) лежит между \( D \) и \( C \), что верно, так как \( \angle C=60° \) и \( \angle BDC \) — острый в \( \triangle BHC \)).

\( \angle HBD = 40° - 30° = 10° \).

Ответ: 10°