13 вариант. 1. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 48 см, а сторона AB больше BC на 10 см. 2. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A больше угла B в 4 раза. 3. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 65°. 4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠CAD = 30°, CD = 27 см. 5. В четырехугольнике ABCD: AB = CD, ∠ABD = 65°, ∠CDB = 65°. Докажите, что ABCD — параллелограмм. 6. В ромбе ABCD угол A равен 66°. Диагонали ромба пересекаются в точке O. Найти углы треугольника AOC.

Обозначим AB = a, BC = b. По периметру a + b = 48 : 2 = 24, а по условию a − b = 10. Складываем уравнения: 2a = 34, значит a = 17 см; тогда b = 24 − 17 = 7 см. В параллелограмме противоположные стороны равны.

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Пусть ∠B = x, тогда ∠A = 4x. Получаем 5x = 180°, откуда x = 36°. Значит, ∠A = ∠C = 144°, ∠B = ∠D = 36°.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы supplementary: их сумма равна 180°. Поэтому углы равны 65°, 65°, 115°, 115°.

В прямоугольнике треугольник ACD прямоугольный, причём ∠CAD = 30°, а противолежащий ему катет CD = 27 см. В прямоугольном треугольнике катет против угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому AC = 54 см. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, BD = AC = 54 см.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. AB = CD по условию, BD — общая сторона, ∠ABD = ∠CDB = 65°. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AD = CB. В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны: AB = CD и AD = CB; значит, ABCD — параллелограмм.

В ромбе A, O и C лежат на одной диагонали AC, причём O находится между A и C. Поэтому AOC не является обычным треугольником: его вершины коллинеарны. Если имелся в виду другой треугольник (например, AOD), уточните обозначение.