15 вариант. 1. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 48 см, а сторона AB больше BC на 10 см. 2. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A больше угла B в 4 раза. 3. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 65°. 4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠CAD = 30°, CD = 27 см. 5. В четырехугольнике ABCD: AB = CD, ∠ABD = 65°, ∠CDB = 65°. Докажите, что ABCD — параллелограмм. 6. В ромбе ABCD угол A равен 80°. Диагонали ромба пересекаются в точке O. Найти углы треугольника AOC.

Обозначим AB = a, BC = b. Тогда a + b = 48 : 2 = 24 и a − b = 10. Складывая равенства, получаем 2a = 34, поэтому AB = 17 см и BC = 7 см. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Пусть ∠B = x, тогда ∠A = 4x. Соседние углы параллелограмма supplementary: 5x = 180°, откуда ∠B = 36°, ∠A = 144°. Следовательно, ∠C = 144°, ∠D = 36°.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, а соседние углы supplementary. Поэтому все углы: 65°, 65°, 115°, 115°.

В прямоугольном треугольнике ACD угол CAD равен 30°, а противоположный ему катет CD = 27 см. Катет напротив 30° равен половине гипотенузы, значит AC = 54 см. Диагонали прямоугольника равны, поэтому BD = 54 см.

Треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними: AB = CD, BD — общая сторона, ∠ABD = ∠CDB. Отсюда AD = CB. Получили равенство обеих пар противоположных сторон, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Точки A, O и C лежат на одной диагонали AC; O находится между A и C. Поэтому AOC — вырожденная конфигурация, а не обычный треугольник. Уточните, какой треугольник требуется рассмотреть (например, AOD).