14 вариант. 1. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 60 см, а сторона AB больше BC в 4 раза. 2. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A меньше угла B на 28°. 3. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 164°. 4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠ABD = 30°, AD = 35 см. 5. Начертите произвольный отрезок. Разделите его с помощью циркуля и линейки в отношении 3:2. 6. В ромбе МНРК с тупым углом K диагонали пересекаются в точке E. Один из углов треугольника PKE равен 42°. Найти углы ромба.

Пусть BC = x, тогда AB = 4x. Из периметра: 2(AB + BC) = 60, значит 4x + x = 30. Отсюда x = 6 см, AB = 24 см. Следовательно, AB = CD = 24 см, BC = AD = 6 см.

Соседние углы параллелограмма supplementary, то есть в сумме равны 180°. Пусть ∠A = x, тогда ∠B = x + 28°. Получаем 2x + 28° = 180°, поэтому ∠A = 76°, ∠B = 104°. Противоположные углы равны: ∠C = 76°, ∠D = 104°.

У прямоугольной трапеции два угла прямые: 90° и 90°. Два остальных — односторонние при параллельных основаниях, поэтому их сумма 180°. Если больший равен 164°, второй равен 180° − 164° = 16°. Углы: 90°, 90°, 164°, 16°.

Треугольник ABD прямоугольный при A. Так как ∠ABD = 30°, катет AD = 35 см, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы BD. Значит, BD = 70 см. Диагонали прямоугольника равны, поэтому AC = BD = 70 см.

Построение: из точки A проведём произвольный луч и отложим на нём пять равных отрезков. Соединим пятую отметку с концом B исходного отрезка. Через третью отметку проведём прямую, параллельную полученной; точка пересечения с AB делит AB в отношении 3:2 по теореме Фалеса.

На схеме AM:MB = 3:2.

При стандартном порядке вершин ромба МНРК диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам. Поэтому ∠PEK = 90°. Половина тупого угла K больше 45°, значит угол 42° в треугольнике PKE — это половина острого угла P. Тогда ∠P = 2 · 42° = 84°, а соседний угол K = 180° − 84° = 96°. Противоположные углы равны.

Ответ: ∠P = ∠M = 84°, ∠K = ∠H = 96°.