16 вариант. 1. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 96 см, а сторона AB больше BC в 3 раза. 2. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A меньше угла B на 16°. 3. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 140°. 4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠ABD = 30°, AD = 19 см. 5. Начертите произвольный отрезок. Разделите его с помощью циркуля и линейки на 6 частей. 6. В ромбе МНРК с тупым углом K диагонали пересекаются в точке E. Один из углов треугольника PKE равен 15°. Найти углы ромба.

Пусть BC = x, тогда AB = 3x. Из периметра следует AB + BC = 96 : 2 = 48. Значит, 4x = 48, x = 12 см, AB = 36 см. Итак, AB = CD = 36 см, BC = AD = 12 см.

Пусть ∠A = x, тогда ∠B = x + 16°. Соседние углы параллелограмма supplementary: 2x + 16° = 180°, откуда ∠A = 82°, ∠B = 98°. Следовательно, ∠C = 82°, ∠D = 98°.

Два угла прямоугольной трапеции равны 90°. Два других в сумме дают 180°. Если больший равен 140°, то второй равен 40°. Все углы: 90°, 90°, 140°, 40°.

Треугольник ABD прямоугольный при A. Катет AD = 19 см лежит напротив угла 30°, поэтому гипотенуза BD = 2 · 19 = 38 см. Диагонали прямоугольника равны, значит AC = BD = 38 см.

Выберем, например, отрезок AB. Для построения шести равных частей проведём из A вспомогательный луч и отложим на нём шесть равных отрезков. Соединим шестую отметку с B. Через остальные пять отметок проведём прямые, параллельные этой соединяющей прямой. По теореме Фалеса они разделят AB на шесть равных частей.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Поэтому ∠PEK = 90°. Половина тупого угла K больше 45°, следовательно, угол 15° в треугольнике PKE — половина острого угла P. Значит, ∠P = 2 · 15° = 30°, а ∠K = 180° − 30° = 150°. Противоположные углы ромба равны.

Ответ: ∠P = ∠M = 30°, ∠K = ∠H = 150°.