13. Ящик массой 10 кг перемещают по полу, прикладывая к нему силу под углом 30° к горизонту. В течение 5 с скорость ящика возросла с 2 м/с до 4 м/с. Коэффициент трения скольжения между ящиком и полом равен 0,15. Определите эту силу. Под каким углом к горизонту должна быть приложена сила, чтобы она была минимальной, и чему она равна?

Считаем, что сила направлена вверх под углом к горизонту, а ящик всё время скользит по горизонтальной поверхности. Принимаем \(g=10\) м/с².

Сначала найдём ускорение: \(a=\dfrac{v-v_0}{t}=\dfrac{4-2}{5}=0.4\) м/с².

При угле \(\alpha=30^\circ\) нормальная сила равна \(N=mg-F\sin\alpha\), а сила трения — \(\mu(mg-F\sin\alpha)\). По второму закону Ньютона по горизонтали:

\(F\cos\alpha-\mu(mg-F\sin\alpha)=ma\),

откуда \(F=\dfrac{m(a+\mu g)}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}\).

Подставим значения: \(F=\dfrac{10(0.4+0.15\cdot10)}{\cos30^\circ+0.15\sin30^\circ}=\dfrac{19.8}{0.866+0.075}\approx21.0\) Н.

Чтобы сила была минимальной, нужно максимизировать знаменатель \(\cos\alpha+\mu\sin\alpha\). Его максимум достигается при \(\tan\alpha=\mu\), значит, \(\alpha=\arctan(0.15)\approx8.5^\circ\).

Тогда \(F_{\min}=\dfrac{m(a+\mu g)}{\sqrt{1+\mu^2}}=\dfrac{19.8}{\sqrt{1+0.15^2}}\approx19.6\) Н.

Ответ: при угле 30° сила составляет примерно 21 Н; минимальная сила — примерно 19,6 Н при угле около 8,5° к горизонту.