133. На числовой прямой отмечены числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Расположите в порядке возрастания числа $$\frac{b}{c}$$, $$\frac{a}{b}$$, $$\frac{c}{a}$$.

Решение:

По расположению точек на числовой прямой имеем: $$0 < a < b < c < 1$$.

Сравним дроби:

• $$\frac{a}{b}$$: числитель меньше знаменателя, оба положительны, поэтому $$0 < \frac{a}{b} < 1$$.
• $$\frac{b}{c}$$: числитель меньше знаменателя, оба положительны, поэтому $$0 < \frac{b}{c} < 1$$.
• $$\frac{c}{a}$$: числитель больше знаменателя, оба положительны, поэтому $$\frac{c}{a} > 1$$.

Теперь сравним $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{b}{c}$$. Так как $$a < b$$ и $$b < c$$, то $$\frac{a}{b}$$ будет меньше, чем $$\frac{b}{c}$$, если $$a, b, c$$ находятся в определённых соотношениях. Однако, проще заметить, что $$a$$ — наименьшее положительное число, $$b$$ — среднее, $$c$$ — наибольшее. Поэтому отношение меньшего к большему ($$\frac{a}{b}$$, $$\frac{b}{c}$$) будет меньше 1, а отношение большего к меньшему ($$\frac{c}{a}$$) будет больше 1.

Сравнивая $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{b}{c}$$: если $$a=0.1, b=0.5, c=0.9$$, то $$\frac{a}{b} = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$$, $$\frac{b}{c} = \frac{0.5}{0.9} \approx 0.56$$. Значит, $$\frac{a}{b} < \frac{b}{c}$$.

Следовательно, порядок возрастания: $$\frac{a}{b}$$, $$\frac{b}{c}$$, $$\frac{c}{a}$$.

Ответ: $$\frac{a}{b}$$, $$\frac{b}{c}$$, $$\frac{c}{a}$$.