Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 136. Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x+12}<8-x\); 2) \(\sqrt{2x-1}Фото задания

Ответ:

  1. Для ОДЗ и положительности правой части нужны \(x\ge-12\) и \(x<8\). Возводим в квадрат: \(x+12<(8-x)^2\), откуда \((x-4)(x-13)>0\). Пересечение с указанными условиями: \([-12;4)\).

  2. Поскольку квадратный корень неотрицателен, необходимо \(x-2>0\); также \(2x-1\ge0\). После возведения в квадрат получаем \(2x-1<(x-2)^2\), или \((x-1)(x-5)>0\). С учётом \(x>2\): \((5;+\infty)\).

  3. ОДЗ: \(-1\le x\le1\). Правая часть \(4-x\) на этом отрезке положительна. После возведения в квадрат неравенство равносильно \(1-x^2<(4-x)^2\), то есть \(2x^2-8x+15>0\). Дискриминант этого квадратного трёхчлена отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно на всей ОДЗ.

  4. Необходимо, чтобы \(x-3\ge0\), а подкоренное выражение было неотрицательно. Условия дают \(x\ge3\) и \((2x-9)(x-1)\ge0\); вместе это означает \(x\ge\frac92\) или, проверяя исходное выражение, точная факторизация подкоренного выражения даёт корни \(1\) и \(\frac92\). Возводим в квадрат: \(2x^2-11x+9\le(x-3)^2\), откуда \(x^2-5x\le0\), то есть \(x\in[0;5]\). Пересечение с условиями \(x\ge3\) и \((2x-9)(x-1)\ge0\) равно \([\frac92;5]\).

Ответ: 1) \([-12;4)\); 2) \((5;+\infty)\); 3) \([-1;1]\); 4) \([\frac92;5]\).