136. В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N — в точке K. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

Рассмотрим треугольники DEF и MNP.

По условию EF = NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (SAS). Поэтому соответствующие углы равны:

∠D = ∠M и ∠E = ∠N.

Точка O — точка пересечения биссектрис углов D и E, то есть центр вписанной окружности треугольника DEF. Точка K аналогично является центром вписанной окружности треугольника MNP.

Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90° плюс половина третьего угла. Поэтому:

∠DOE = 90° + 1/2∠F,

∠MKN = 90° + 1/2∠P.

Так как ∠F = ∠P, то ∠DOE = ∠MKN.

Что и требовалось доказать.