144. На рисунке 82 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.

Так как в четырёхугольнике ABСD противоположные стороны попарно равны: AB = CD и AD = BC, то ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠ABC = ∠ADC. Поскольку BE и DF — биссектрисы этих углов, их половины равны:

∠ABE = ∠ADF.

Точки C, F, E, A лежат на одной диагонали AC. Поэтому углы ∠BAE и ∠DCF равны как углы, образованные соответственно параллельными прямыми AB и CD и одной секущей AC:

∠BAE = ∠DCF.

Кроме того, AB = CD по условию. Следовательно, треугольники ABE и CDF равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA):

△ABE = △CDF.

Ответ: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.