14. (1 балл) Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 84. Найдите длину её средней линии

Решение:

Около окружности можно описать только равнобедренную трапецию. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Свойство описанной окружности: сумма противоположных сторон трапеции равна периметру.

Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции, а \( c \) — боковая сторона. Тогда \( a + b + 2c = 84 \).

По свойству описанной окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( a + b = 2c \).

Подставим это в уравнение периметра:

\( 2c + 2c = 84 \) \( 4c = 84 \) \( c = 21 \) см.

Следовательно, \( a + b = 2 \cdot 21 = 42 \) см.

Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований:

\( m = \frac{a + b}{2} \).

Подставим найденное значение суммы оснований:

\( m = \frac{42}{2} = 21 \) см.

Ответ: 21 см.