18. (1 балл) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \), где \( R \) — радиус основания, \( H \) — высота.

Когда уровень жидкости достигает \( \frac{1}{2} \) высоты, мы имеем дело с меньшим конусом, который подобен большому конусу (всему сосуду).

Пусть \( H \) — высота всего конуса, а \( R \) — радиус его основания. Тогда объём всего конуса \( V_{сосуда} = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).

Высота жидкости \( h = \frac{1}{2} H \).

Радиус поверхности жидкости \( r \) можно найти из подобия треугольников:

\[ \frac{r}{h} = \frac{R}{H} \] \( \frac{r}{\frac{1}{2}H} = \frac{R}{H} \) \( r = \frac{1}{2}R \).

Объём жидкости \( V_{жидкости} \) (объём меньшего конуса) равен:

\[ V_{жидкости} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{2}R\right)^2 \left(\frac{1}{2}H\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{1}{4}R^2 \frac{1}{2}H = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3}\pi R^2 H\right) = \frac{1}{8} V_{сосуда} \].

Нам известно, что объём жидкости равен 54 мл, и он составляет \( \frac{1}{8} \) объёма всего сосуда.

\[ V_{жидкости} = \frac{1}{8} V_{сосуда} = 54 \text{ мл} \].

Теперь найдём объём всего сосуда:

\[ V_{сосуда} = 54 \text{ мл} \cdot 8 = 432 \text{ мл} \].

Чтобы найти, сколько миллилитров жидкости нужно долить, вычтем объём жидкости из объёма всего сосуда:

\[ \text{Долить} = V_{сосуда} - V_{жидкости} = 432 \text{ мл} - 54 \text{ мл} = 378 \text{ мл} \].

Ответ: 378 мл.