№14. (1 балл). Решите уравнение: \( \sqrt{3} \cdot 3^{3x} = \frac{1}{3} \)

Решение:

1. Запишем все числа в виде степеней тройки:

\( \sqrt{3} = 3^{1/2} \)

\( \frac{1}{3} = 3^{-1} \)

2. Подставим в уравнение:

\( 3^{1/2} \cdot 3^{3x} = 3^{-1} \)

3. Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\( 3^{\frac{1}{2} + 3x} = 3^{-1} \)

4. Приравняем показатели степеней:

\( \frac{1}{2} + 3x = -1 \)

5. Решим полученное линейное уравнение:

\( 3x = -1 - \frac{1}{2} \)

\( 3x = -\frac{3}{2} \)

\( x = \frac{-3/2}{3} \)

\( x = -\frac{3}{2 \cdot 3} \)

\( x = -\frac{1}{2} \)

Ответ: -0.5.