14. (2 балла) Решите неравенство log_1/3(5x-9)≥log_1/3(3x+1)

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{\frac{1}{3}}(5x-9) \ge \log_{\frac{1}{3}}(3x+1) \) необходимо учесть следующие условия:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть положительными.
• \( 5x - 9 > 0 \) \( \implies 5x > 9 \) \( \implies x > \frac{9}{5} \)
• \( 3x + 1 > 0 \) \( \implies 3x > -1 \) \( \implies x > -\frac{1}{3} \)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x > \frac{9}{5} \).

2. Решим само неравенство: Так как основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), при раскрытии логарифмов знак неравенства меняется на противоположный.
• \( 5x - 9 \le 3x + 1 \)
• \( 5x - 3x \le 1 + 9 \)
• \( 2x \le 10 \)
• \( x \le 5 \)

Объединяем решение неравенства с ОДЗ:

\( x > \frac{9}{5} \) и \( x \le 5 \).

Получаем интервал \( \frac{9}{5} < x \le 5 \).

Ответ: \( (\frac{9}{5}; 5] \)