15. (2 балла) Найдите корень уравнения 3log₁₂3=log₁₂2+log₁₂(x-1)

Решение:

Для решения уравнения \( 3\log_{12}3 = \log_{12}2 + \log_{12}(x-1) \) воспользуемся свойствами логарифмов:

1. Перенесём все логарифмы в одну часть:
• \( 3\log_{12}3 - \log_{12}2 - \log_{12}(x-1) = 0 \)
2. Применим свойство логарифма \( n\log_b a = \log_b a^n \):
• \( \log_{12}3^3 - \log_{12}2 - \log_{12}(x-1) = 0 \)
• \( \log_{12}27 - \log_{12}2 - \log_{12}(x-1) = 0 \)
3. Применим свойство логарифма \( \log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c} \):
• \( \log_{12}\frac{27}{2} - \log_{12}(x-1) = 0 \)
• \( \log_{12}\frac{27}{2(x-1)} = 0 \)
4. Применим определение логарифма \( \log_b a = c \iff b^c = a \):
• \( \frac{27}{2(x-1)} = 12^0 \)
• \( \frac{27}{2(x-1)} = 1 \)
5. Решим полученное уравнение:
• \( 27 = 2(x-1) \)
• \( 27 = 2x - 2 \)
• \( 29 = 2x \)
• \( x = \frac{29}{2} \)
6. Проверим ОДЗ: Аргумент логарифма \( x-1 \) должен быть положительным.
• \( x-1 > 0 \)
• \( \frac{29}{2} - 1 > 0 \)
• \( \frac{29}{2} - \frac{2}{2} > 0 \)
• \( \frac{27}{2} > 0 \)

Условие выполняется.

Ответ: \( \frac{29}{2} \)