16. (3 балла) Решите неравенство: log₅(x²-7x+12)≤log₅(3x-4)

Решение:

Для решения неравенства \( \log_5(x^2-7x+12) \le \log_5(3x-4) \) выполним следующие шаги:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
• \( x^2 - 7x + 12 > 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) найдём по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \) и \( x_1 x_2 = 12 \). Это \( x=3 \) и \( x=4 \). Так как ветви параболы \( y = x^2 - 7x + 12 \) направлены вверх, то \( x^2 - 7x + 12 > 0 \) при \( x < 3 \) или \( x > 4 \).
• \( 3x - 4 > 0 \) \( \implies 3x > 4 \) \( \implies x > \frac{4}{3} \).

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( \frac{4}{3} < x < 3 \) или \( x > 4 \).

2. Решим само неравенство: Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), знак неравенства сохраняется.
• \( x^2 - 7x + 12 \le 3x - 4 \)
• \( x^2 - 7x - 3x + 12 + 4 \le 0 \)
• \( x^2 - 10x + 16 \le 0 \)

Найдем корни уравнения \( x^2 - 10x + 16 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 10 \) и \( x_1 x_2 = 16 \). Корни: \( x=2 \) и \( x=8 \).

Так как ветви параболы \( y = x^2 - 10x + 16 \) направлены вверх, то \( x^2 - 10x + 16 \le 0 \) при \( 2 \le x \le 8 \).

3. Пересечём решение неравенства с ОДЗ:
• Первый случай ОДЗ: \( \frac{4}{3} < x < 3 \). Пересекая с \( [2; 8] \), получаем \( 2 \le x < 3 \).
• Второй случай ОДЗ: \( x > 4 \). Пересекая с \( [2; 8] \), получаем \( 4 < x \le 8 \).

Объединяя полученные интервалы, имеем:

\( [2; 3) \cup (4; 8] \).

Ответ: \( [2; 3) \cup (4; 8] \)