18. (3 балла) Найти наименьший положительный корень уравнения: 2 sin x = √3. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Чтобы найти наименьший положительный корень уравнения \( 2 \sin x = \sqrt{3} \), сначала выразим \( \sin x \):

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь определим углы, для которых синус равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). В первой четверти это \( 60^{\circ} \) (или \( \frac{\pi}{3} \) радиан). Вторая четверть, где синус также положителен, даст нам угол \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) (или \( \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \) радиан).

Общее решение уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) имеет вид:

\[ x = 60^{\circ} + 360^{\circ}k \quad \text{и} \quad x = 120^{\circ} + 360^{\circ}k \],

где \( k \) — любое целое число.

Нам нужно найти наименьший положительный корень. Рассмотрим значения при \( k = 0 \):

• \( x = 60^{\circ} + 360^{\circ} \cdot 0 = 60^{\circ} \)
• \( x = 120^{\circ} + 360^{\circ} \cdot 0 = 120^{\circ} \)

При \( k = 1 \) получим большие положительные значения.

При \( k = -1 \) получим отрицательные значения.

Среди положительных корней \( 60^{\circ} \) и \( 120^{\circ} \), наименьшим является \( 60^{\circ} \).

Ответ: 60