14. а) Решите уравнение \(2\sin^2 x\cos x+\sqrt3\cos^2 x=\sqrt3\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\).

а) Используем равенство \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\(2\cos x(1-\cos^2 x)+\sqrt3\cos^2 x=\sqrt3.\)

После переноса всех слагаемых в одну сторону и разложения на множители получаем:

\((\cos^2 x-1)(2\cos x-\sqrt3)=0.\)

Значит, \(\cos x=1\), \(\cos x=-1\) или \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\). Отсюда

\(x=\pi k\) или \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) из корней вида \(\pi k\) лежат \(3\pi\) и \(4\pi\); из корней вида \(2\pi k\pm\frac{\pi}{6}\) лежит \(\frac{23\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=\pi k\) или \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6},\ k\in\mathbb Z\); б) \(3\pi,\ \frac{23\pi}{6},\ 4\pi\).