16. Решите неравенство \(\frac{2\cdot5^{2x}-3\cdot5^x\cdot2^{x+1}+4^{x+1}}{10^x-2^{2x}}\le1\).

Знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю: \(10^x-2^{2x}=2^x(5^x-2^x)\ne0\). Поскольку \(2^x>0\), исключаем \(x=0\).

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(2\cdot5^{2x}-3\cdot5^x\cdot2^{x+1}+4^{x+1}=2(5^x-2^x)(5^x-2^{x+1}),\)

\(10^x-2^{2x}=2^x(5^x-2^x).\)

При \(x\ne0\) сокращаем общий множитель и делим на \(2^x>0\):

\(2\left(\left(\frac52\right)^x-2\right)\le1,\qquad \left(\frac52\right)^x\le\frac52.\)

Так как \(\frac52>1\), получаем \(x\le1\). Учитываем исключённое значение \(x=0\).

Ответ: \((-;0)\cup(0;1]\).