15. Точка \(M\) — середина ребра \(AA_1\) треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\), в основании которой лежит треугольник \(ABC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\) и \(B_1\) перпендикулярно прямой \(C_1M\). а) Докажите, что одна из диагоналей грани \(ACC_1A_1\) равна одному из рёбер этой грани. б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если плоскость \(\alpha\) делит ребро \(AC\) в отношении \(1:3\), считая от вершины \(A\), \(AC=10\), \(AA_1=12\).

а) Обозначим \(\vec a=\overrightarrow{AC}\), \(\vec h=\overrightarrow{AA_1}\). Так как \(M\) — середина \(AA_1\), то \(\overrightarrow{MC_1}=\vec a+\frac12\vec h\). Плоскость \(\alpha\) содержит ребро \(BB_1\), параллельное \(AA_1\), а \(C_1M\perp\alpha\). Поэтому \(\overrightarrow{MC_1}\perp\vec h\), откуда

\(\vec a\cdot\vec h+\frac12|\vec h|^2=0.\)

Для диагонали \(AC_1\) получаем:

\(AC_1^2=|\vec a+\vec h|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec h+|\vec h|^2=|\vec a|^2.\)

Следовательно, диагональ \(AC_1\) равна ребру \(AC\).

б) Пусть \(D=AC\cap\alpha\). По условию \(AD:DC=1:3\), поэтому \(\overrightarrow{DC}=\frac34\vec a\). Вектор \(\vec n=\vec a+\frac12\vec h=\overrightarrow{MC_1}\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\), то есть является её нормальным вектором.

Из пункта а) и данных задачи:

\(\vec a\cdot\vec h=-\frac12\cdot12^2=-72,\qquad |\vec n|^2=|\vec a|^2+\vec a\cdot\vec h+\frac14|\vec h|^2=100-72+36=64.\)

Расстояние от \(C\) до плоскости равно модулю проекции \(\overrightarrow{DC}\) на единичную нормаль:

\(d(C,\alpha)=\frac{|\overrightarrow{DC}\cdot\vec n|}{|\vec n|}=\frac{\frac34\left(|\vec a|^2+\frac12\vec a\cdot\vec h\right)}{8}=\frac{\frac34(100-36)}{8}=6.\)

Ответ: а) \(AC_1=AC\); б) \(6\).