14. а) Решите уравнение 36^{sin 2x} = 6^{2 sin x}. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π/2; −5π/2].

а) Так как \(36=6^2\), получаем \(6^{2\sin 2x}=6^{2\sin x}\). Основания равны и больше 1, поэтому приравниваем показатели:

\(\sin 2x=\sin x\), откуда \(2\sin x\cos x=\sin x\), то есть \(\sin x(2\cos x-1)=0\).

Следовательно, \(\sin x=0\) или \(\cos x=\frac12\). Поэтому \(x=\pi k\) или \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}]\) из корней вида \(x=\pi k\) лежит только \(x=-3\pi\). Корни вида \(2\pi k\pm\frac{\pi}{3}\) на этот отрезок не попадают.

Ответ: а) \(x=\pi k\) или \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-3\pi\).