16. Решите неравенство: 1/(log₃ x + 4) + 2/log₃(3x) · (2/(log₃ x + 4) − 1) ≤ 0.

Область определения: \(x>0\), \(\log_3x+4\ne0\), \(\log_3(3x)\ne0\). Обозначим \(t=\log_3x\); тогда \(\log_3(3x)=t+1\), поэтому \(t\ne-4,-1\).

Преобразуем левую часть:

\[\frac1{t+4}+\frac2{t+1}\left(\frac2{t+4}-1\right)=\frac1{t+4}-\frac{2(t+2)}{(t+1)(t+4)}=\frac{-t-3}{(t+1)(t+4)}.\]

Итак, требуется \(\frac{t+3}{(t+1)(t+4)}\ge0\). С учётом критических точек \(-4\), \(-3\), \(-1\) получаем \(t\in(-4;-3]\cup(-1;+\infty)\).

Поскольку основание логарифма 3 больше 1, переход к \(x\) сохраняет порядок: \(x\in(3^{-4};3^{-3}]\cup(3^{-1};+\infty)\).

Ответ: \(x\in\left(\frac1{81};\frac1{27}\right]\cup\left(\frac13;+\infty\right)\).