Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Обозначим \(\overrightarrow{AB}=u\), \(\overrightarrow{AD}=v\), а вектор бокового ребра призмы — \(h\). Выберем \(A\) за начало координат. Тогда \(B=u\), \(C=u+v\), \(A_1=h\), \(B_1=h+u\), \(C_1=h+u+v\).
Пусть \(M=h+tu\), где \(0\le t\le1\), и \(N=u+sv\), где \(0\le s\le1\). Из условия \(B_1K:KC_1=1:2\) следует \(K=h+u+\frac13v\).
а) В трапеции противоположные стороны \(AM\) и \(KN\) не могут быть основаниями: если они параллельны, сравнение составляющих вдоль бокового ребра даёт \(\overrightarrow{KN}=-\overrightarrow{AM}\), а значит, эти стороны равны. Это противоречит различным длинам оснований 4 и 6. Следовательно, основания — \(MK\) и \(AN\).
Из параллельности оснований имеем
\[\overrightarrow{MK}=(1-t)u+\frac13v=\lambda\left(u+sv\right)=\lambda\overrightarrow{AN}.\]
Сравнивая коэффициенты при независимых векторах \(u\) и \(v\), получаем \(\lambda=1-t\) и \(\lambda s=\frac13\). Поскольку \(0\le t\le1\), отношение длин оснований \(\lambda=MK/AN\) не больше 1. Значит, основание \(MK\) имеет длину 4, а \(AN\) — 6, поэтому \(\lambda=\frac46=\frac23\). Тогда \(s=\frac{1}{3\lambda}=\frac12\). Следовательно, \(BN=NC\), то есть \(N\) — середина \(BC\).
б) Площадь основания призмы равна \(72:2=36\). Кроме того, из равенств выше \(t=\frac13\), поэтому \(\overrightarrow{AM}=h+\frac13u\). Высота трапеции равна длине составляющей \(\overrightarrow{AM}\), перпендикулярной \(AN\).
Вектор \(h\) перпендикулярен плоскости основания призмы и имеет длину 2. Составляющая \(\frac13u\), перпендикулярная \(AN=u+\frac12v\), имеет длину \(\frac{|u\times v|}{6|AN|}=\frac{36}{6\cdot6}=1\). Эти две составляющие взаимно перпендикулярны, поэтому высота трапеции равна \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\).
Тогда \(S_{AMKN}=\frac{4+6}{2}\cdot\sqrt5=5\sqrt5\).
Ответ: а) \(N\) — середина \(BC\); б) \(5\sqrt5\).
