14. а) Решите уравнение \((\cos^2 x-\sin^2 x)(\sin 2x+\sqrt3\sin x)=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\pi;\frac{\pi}{2}]\).

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Из \(\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x=0\) получаем \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), где \(k\in\mathbb Z\).

Для второго множителя используем \(\sin 2x=2\sin x\cos x\): \(\sin x(2\cos x+\sqrt3)=0\). Поэтому \(x=\pi k\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\), то есть \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Итак, решения уравнения: \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), или \(x=\pi k\), или \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-\pi;\frac{\pi}{2}]\) этим семействам соответствуют корни \(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\); \(-\pi,0\); и \(-\frac{5\pi}{6}\).

Ответ: \(-\pi,-\frac{5\pi}{6},-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4},0,\frac{\pi}{4}\).