15. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M,B_1,D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$. а) Докажите, что $FP:PF_1=1:3$. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$, если $AB=[числовые данные обрезаны]$, $AA_1=8$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскость $\alpha$…$ Фото задания

15. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M,B_1,D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$. а) Докажите, что $FP:PF_1=1:3$. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$, если $AB=[числовые данные обрезаны]$, $AA_1=8$.

Accepted Answer

а) Обозначим длину бокового ребра через $h$, а длину стороны основания через $s$. Введём координаты в плоскости основания правильного шестиугольника: $A=(s,0)$, $B=(s/2,\sqrt3s/2)$, $D=(-s,0)$, $F=(s/2,-\sqrt3s/2)$. Координату по высоте обозначим $z$.

Плоскость через $M=(s,0,h/2)$, $B_1=(s/2,\sqrt3s/2,h)$ и $D_1=(-s,0,h)$ пересекает прямую $FF_1$ при $z=h/4$. Следовательно, $FP:PF_1=(h/4):(3h/4)=1:3$.

б) Числовое значение $AB$ на фотографии обрезано, поэтому площадь сечения определить однозначно нельзя. Пришлите фрагмент условия с полным значением $AB$; доказательство пункта а) от него не зависит.

Ответ: