14. Для получения витамина D могут быть рекомендованы процедуры утром до 10 часов или вечером после 17 часов. Виктор начинает курс с 15 минут в первый день, а в каждый следующий день добавляет 6 минут. Через сколько дней длительность процедур достигнет 1 часа 15 минут?

Решение:

1. Переведем 1 час 15 минут в минуты:
• 1 час = 60 минут
• 1 час 15 минут = 60 + 15 = 75 минут
2. Обозначим количество дней как n.
3. Длительность процедуры в n-й день является арифметической прогрессией, где:
• a₁ = 15 (длительность в первый день)
• d = 6 (ежедневное увеличение)
• S_n = 75 (целевая длительность)
4. Формула суммы арифметической прогрессии: S_n = (2a₁ + (n-1)d) / 2 · n
5. Подставим известные значения:
• 75 = (2 · 15 + (n-1) · 6) / 2 · n
• 75 = (30 + 6n - 6) / 2 · n
• 75 = (24 + 6n) / 2 · n
• 75 = (12 + 3n) · n
• 75 = 12n + 3n²
6. Приведем к квадратному уравнению:
• 3n² + 12n - 75 = 0
7. Разделим на 3:
• n² + 4n - 25 = 0
8. Найдем дискриминант:
• D = b² - 4ac = 4² - 4 · 1 · (-25) = 16 + 100 = 116
9. Найдем n:
• n = (-b ± √ D) / 2a
• n = (-4 ± √ 116) / 2
• √ 116 ≈ 10.77
• n₁ = (-4 + 10.77) / 2 ≈ 6.77 / 2 ≈ 3.385
• n₂ = (-4 - 10.77) / 2 (отрицательное значение, не подходит)
10. Поскольку количество дней должно быть целым, и нам нужно, чтобы длительность *достигла* 1 часа 15 минут, нам нужно округлить в большую сторону.
11. Проверим n=4:
• a₄ = 15 + (4-1)*6 = 15 + 18 = 33 минуты.
• S₄ = (15 + 33) * 4 / 2 = 48 * 2 = 96 минут.
12. Проверим n=3:
• a₃ = 15 + (3-1)*6 = 15 + 12 = 27 минут.
• S₃ = (15 + 27) * 3 / 2 = 42 * 3 / 2 = 63 минуты.
13. Таким образом, на 4-й день длительность процедуры превысит 75 минут.

Ответ: 4