Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 14. Известно, что DO = CO, AO = BO, M — середина отрезка AB. Докажите, что MC = MD.Фото задания

Ответ:

  1. По рисунку A, O, D лежат на одной прямой, а B, O, C — на другой. Обозначим AO = BO = a и DO = CO = d.
  2. Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними: AO = BO, CO = DO, а углы AOC и BOD вертикальные. Поэтому AC = BD.
  3. Более непосредственно проверим требуемое равенство. Пусть M — начало координат, а единичные векторы направлений от O к A и от O к B обозначены соответственно u и v. Тогда A = −a u, B = a v, D = d u, C = −d v. Так как M — середина AB, M = (−a u + a v)/2.
  4. Тогда векторы MC = C − M = (a u − (a + 2d)v)/2 и MD = D − M = ((a + 2d)u − a v)/2. Их длины равны: при раскрытии квадратов используются |u| = |v| = 1, и оба квадрата длины равны (a² + (a + 2d)² − 2a(a + 2d)(u·v))/4.
  5. Следовательно, MC = MD.