14. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 11 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Нам известны:

• Первый член прогрессии (расстояние, пролетевшее в первую секунду): \( a_1 = 11 \) м.
• Разность прогрессии (на сколько увеличивалось расстояние каждую секунду): \( d = 10 \) м.
• Количество секунд (членов прогрессии): \( n = 5 \) сек.

Нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии \( S_5 \).

Сначала найдём расстояние, которое камень пролетит в пятую секунду (пятый член прогрессии \( a_5 \)):

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]\[ a_5 = 11 + (5-1) \cdot 10 = 11 + 4 \cdot 10 = 11 + 40 = 51 \text{ м} \]

Теперь найдём сумму первых пяти членов прогрессии:

\[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \]\[ S_5 = \frac{(11 + 51) \cdot 5}{2} = \frac{62 \cdot 5}{2} = \frac{310}{2} = 155 \text{ м} \]

Ответ: 155 метров.