14. Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 10 м, а за каждую следующую секунду — на 15 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?

Это задача на арифметическую прогрессию.

Дано:

• Первый член прогрессии (путь за 1-ю секунду): \( a_1 = 10 \) м.
• Разность прогрессии: \( d = 15 \) м.
• Количество секунд: \( n = 5 \) с.

Найти:

• Путь за 5 секунд: \( S_5 \).

Решение:

1. Найдем путь, пройденный за каждую секунду:
   • 1-я секунда: \( a_1 = 10 \) м.
   • 2-я секунда: \( a_2 = a_1 + d = 10 + 15 = 25 \) м.
   • 3-я секунда: \( a_3 = a_2 + d = 25 + 15 = 40 \) м.
   • 4-я секунда: \( a_4 = a_3 + d = 40 + 15 = 55 \) м.
   • 5-я секунда: \( a_5 = a_4 + d = 55 + 15 = 70 \) м.
2. Сложим пройденные расстояния: \( S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 10 + 25 + 40 + 55 + 70 = 200 \) м.
3. Можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \).
4. Подставим значения: \( S_5 = \frac{2 · 10 + (5-1) · 15}{2} \cdot 5 = \frac{20 + 4 · 15}{2} \cdot 5 = \frac{20 + 60}{2} \cdot 5 = \frac{80}{2} \cdot 5 = 40 \cdot 5 = 200 \) м.

Ответ: 200 метров.