14. Каучуковый мячик бросили на асфальт. Отскочивший мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение:

Высота первого отскока: \( h_1 = 5,4 \) м.

Высота второго отскока: \( h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{5,4}{3} = 1,8 \) м.

Высота третьего отскока: \( h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{1,8}{3} = 0,6 \) м.

Заметим, что последовательность высот отскоков образует геометрическую прогрессию со знаменателем \( q = \frac{1}{3} \) и первым членом \( h_1 = 5,4 \) м.

Общая формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).

Нам нужно найти такое \( n \), при котором \( h_n < 11 \) см.

Переведём 11 см в метры: \( 11 \text{ см} = 0,11 \) м.

Теперь решим неравенство: \( h_n < 0,11 \) м.

\[ 5,4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0,11 \]

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{0,11}{5,4} \]

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{11}{540} \]

Приблизительное значение \( \frac{11}{540} \) — около 0,02037.

Проверим значения \( n \):

• \( n=1 \): \( h_1 = 5,4 \) м \( > 0,11 \) м
• \( n=2 \): \( h_2 = 1,8 \) м \( > 0,11 \) м
• \( n=3 \): \( h_3 = 0,6 \) м \( > 0,11 \) м
• \( n=4 \): \( h_4 = \frac{0,6}{3} = 0,2 \) м \( > 0,11 \) м
• \( n=5 \): \( h_5 = \frac{0,2}{3} \approx 0,0667 \) м \( < 0,11 \) м

Таким образом, при 5-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 11 см.

Ответ: 5.