14. Лыжник спускается в углубление с высоты H над уровнем земли и вылетает из углубления под таким углом к горизонту, что дальность его полёта максимальна. Во сколько раз максимальная высота подъёма лыжника над землёй во время полёта меньше начальной высоты H?

При вылете под углом \(45^\circ\) дальность полёта максимальна. Пусть скорость лыжника при вылете равна \(v\), а высота точки вылета над землёй — \(h\).

Без потерь механической энергии скорость определяется перепадом высоты: \(v^2=2g(H-h)\).

Максимальный подъём над точкой вылета равен \(\frac{v^2\sin^2 45^\circ}{2g}=\frac{v^2}{4g}=\frac{H-h}{2}\).

Значит, наивысшая точка находится на высоте \(h+\frac{H-h}{2}=\frac{H+h}{2}\) над землёй. Эта величина зависит от высоты вылета \(h\), которая в условии не задана; следовательно, искомое отношение однозначно определить нельзя.

Если подразумевается, что лыжник вылетает с уровня земли (\(h=0\)), высота подъёма равна \(H/2\), то есть в 2 раза меньше \(H\). Для ответа без этого допущения необходима высота точки вылета над землёй.