14. На сторонах параллелограмма EFKP отмечены точки M, N, T, L, как показано на рисунке, причём FM = PT, EL = KN. Докажите, что четырёхугольник MLTN — параллелограмм.

1) Так как EFKP — параллелограмм, то EF = KP, EP = FK, ∠F = ∠P и ∠E = ∠K. По условию FM = PT и EL = KN. Вычитая равные отрезки из равных, получаем EM = EF − FM = KP − PT = KT и PL = EP − EL = FK − KN = FN.

2) В треугольниках MEL и TKN: EM = KT, EL = KN, а углы MEL и TKN равны как противоположные углы параллелограмма. Следовательно, ΔMEL = ΔTKN по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ML = TN.

3) Аналогично, в треугольниках MFN и TPL: MF = PT, FN = PL, а углы MFN и TPL равны как углы параллелограмма. Значит, ΔMFN = ΔTPL по двум сторонам и углу между ними, откуда MN = TL.

Итак, в четырёхугольнике MLTN противоположные стороны ML и TN, MN и LT попарно равны. Следовательно, MLTN — параллелограмм.