14. Найдите все первообразные функции f(x)=x²-4x²+1

Решение:

Первообразная функции \( f(x) \) обозначается \( F(x) \) и находится путем интегрирования.

Интегрируем данную функцию по частям:

\[ F(x) = \int (x^2 - 4x^2 + 1) dx \]

Сначала упростим выражение под интегралом: \( x^2 - 4x^2 + 1 = -3x^2 + 1 \).

\[ F(x) = \int (-3x^2 + 1) dx \]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

\[ \int -3x^2 dx = -3 \int x^2 dx = -3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = -3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = -x^3 + C_1 \]\[ \int 1 dx = x + C_2 \]"

Объединим результаты и добавим константу интегрирования \( C = C_1 + C_2 \):

\[ F(x) = -x^3 + x + C \]

Ответ: \( F(x) = -x^3 + x + C \)