18. Найдите наименьшее значение функции y = -x³ +3x² +4 на отрезке [-3;4].

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = -x^3 + 3x^2 + 4 \):
2. \( y' = -3x^2 + 6x \)
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
4. \( -3x^2 + 6x = 0 \)
5. \( -3x(x - 2) = 0 \)
6. Следовательно, \( x = 0 \) или \( x = 2 \).
7. Обе критические точки \( x=0 \) и \( x=2 \) принадлежат отрезку \( [-3; 4] \).
8. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
9. При \( x = -3 \): \( y = -(-3)^3 + 3(-3)^2 + 4 = -(-27) + 3(9) + 4 = 27 + 27 + 4 = 58 \)
10. При \( x = 0 \): \( y = -(0)^3 + 3(0)^2 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \)
11. При \( x = 2 \): \( y = -(2)^3 + 3(2)^2 + 4 = -8 + 3(4) + 4 = -8 + 12 + 4 = 8 \)
12. При \( x = 4 \): \( y = -(4)^3 + 3(4)^2 + 4 = -64 + 3(16) + 4 = -64 + 48 + 4 = -12 \)
13. Сравним полученные значения: 58, 4, 8, -12.
14. Наименьшее значение равно -12.

Ответ: -12