14 В кинотеатре 22 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 35 мест, а в одиннадцатом ряду 51 место. Сколько мест в последнем ряду кинотеатра?

Решение:

Задача описывает арифметическую прогрессию, где \( a_n \) — количество мест в \( n \)-ом ряду.

Дано:

• \( a_7 = 35 \)
• \( a_{11} = 51 \)
• \( n = 22 \) (всего рядов)

Найдем разность прогрессии \( d \), используя формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \) или \( a_m = a_k + (m-k)d \).

\( a_{11} = a_7 + (11-7)d \)

\( 51 = 35 + 4d \)

\( 51 - 35 = 4d \)

\( 16 = 4d \)

\( d = \frac{16}{4} = 4 \) (ежегодно количество мест увеличивается на 4).

Теперь найдем количество мест в первом ряду \( a_1 \):

\( a_7 = a_1 + (7-1)d \)

\( 35 = a_1 + 6 · 4 \)

\( 35 = a_1 + 24 \)

\( a_1 = 35 - 24 = 11 \) мест.

Наконец, найдем количество мест в последнем, 22-м ряду \( a_{22} \):

\( a_{22} = a_1 + (22-1)d \)

\( a_{22} = 11 + 21 · 4 \)

\( a_{22} = 11 + 84 \)

\( a_{22} = 95 \) мест.

Ответ: 95 мест.