14. В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и меньшего внешних углов относятся как 8:5. Найдите меньший острый угол треугольника.

Решение:

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Внешние углы, смежные с острыми углами, равны \( 180^{\circ} - \alpha \) и \( 180^{\circ} - \beta \).

Пусть \( 180^{\circ} - \alpha \) — наибольший внешний угол, а \( 180^{\circ} - \beta \) — меньший внешний угол. (Это верно, так как большему острому углу соответствует меньший внешний угол, и наоборот).

По условию, отношение наибольшего и меньшего внешних углов равно 8:5.

\( \frac{180^{\circ} - \alpha}{180^{\circ} - \beta} = \frac{8}{5} \)

\( 5(180^{\circ} - \alpha) = 8(180^{\circ} - \beta) \)

\( 900^{\circ} - 5\alpha = 1440^{\circ} - 8\beta \)

\( 8\beta - 5\alpha = 1440^{\circ} - 900^{\circ} \)

\( 8\beta - 5\alpha = 540^{\circ} \)

Также мы знаем, что \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), значит \( \alpha = 90^{\circ} - \beta \).

Подставим \( \alpha \) в уравнение:

\( 8\beta - 5(90^{\circ} - \beta) = 540^{\circ} \)

\( 8\beta - 450^{\circ} + 5\beta = 540^{\circ} \)

\( 13\beta = 540^{\circ} + 450^{\circ} \)

\( 13\beta = 990^{\circ} \)

\( \beta = \frac{990^{\circ}}{13} \) — это нецелое число, что маловероятно для школьной задачи. Пересмотрим предположение о наибольшем и меньшем внешних углах.

Пусть \( \alpha \) — больший острый угол, \( \beta \) — меньший острый угол. Тогда \( 180^{\circ} - \alpha \) — меньший внешний угол, а \( 180^{\circ} - \beta \) — больший внешний угол.

\( \frac{180^{\circ} - \beta}{180^{\circ} - \alpha} = \frac{8}{5} \)

\( 5(180^{\circ} - \beta) = 8(180^{\circ} - \alpha) \)

\( 900^{\circ} - 5\beta = 1440^{\circ} - 8\alpha \)

\( 8\alpha - 5\beta = 540^{\circ} \)

Так как \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), то \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \).

\( 8\alpha - 5(90^{\circ} - \alpha) = 540^{\circ} \)

\( 8\alpha - 450^{\circ} + 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 13\alpha = 990^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{990^{\circ}}{13} \) — снова нецелое число.

Проверим условие: два острых угла относятся как 2:3. Больший острый угол 54. Меньший 36. Внешние углы: \( 180 - 54 = 126 \) и \( 180 - 36 = 144 \). Отношение \( 144:126 = 8:7 \). Не подходит.

Возможно, дело в интерпретации "наибольшего и меньшего внешних углов".

Пусть острые углы \( \alpha \) и \( \beta \). \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Внешние углы: \( 180^{\circ} - \alpha \) и \( 180^{\circ} - \beta \).

Если \( \alpha \) — больший острый угол, \( \beta \) — меньший острый угол.

Тогда \( 180^{\circ} - \alpha \) — меньший внешний угол, \( 180^{\circ} - \beta \) — больший внешний угол.

Отношение \( (180^{\circ} - \beta) : (180^{\circ} - \alpha) = 8:5 \)

\( 5(180^{\circ} - \beta) = 8(180^{\circ} - \alpha) \)

\( 900^{\circ} - 5\beta = 1440^{\circ} - 8\alpha \)

\( 8\alpha - 5\beta = 540^{\circ} \)

Подставим \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \):

\( 8\alpha - 5(90^{\circ} - \alpha) = 540^{\circ} \)

\( 8\alpha - 450^{\circ} + 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 13\alpha = 990^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{990}{13} \).

Проверим, если \( \alpha \) — меньший острый угол, \( \beta \) — больший острый угол.

Внешние углы: \( 180^{\circ} - \alpha \) (больший) и \( 180^{\circ} - \beta \) (меньший).

\( (180^{\circ} - \alpha) : (180^{\circ} - \beta) = 8:5 \)

\( 5(180^{\circ} - \alpha) = 8(180^{\circ} - \beta) \)

\( 900^{\circ} - 5\alpha = 1440^{\circ} - 8\beta \)

\( 8\beta - 5\alpha = 540^{\circ} \)

Подставим \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \):

\( 8(90^{\circ} - \alpha) - 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 720^{\circ} - 8\alpha - 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 720^{\circ} - 13\alpha = 540^{\circ} \)

\( 13\alpha = 720^{\circ} - 540^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{180^{\circ}}{13} \) — тоже нецелое.

Перечитаем условие: "градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов".

Пусть острые углы \( \alpha \) и \( \beta \), \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Внешние углы \( 180^{\circ} - \alpha \) и \( 180^{\circ} - \beta \).

Если \( \alpha > \beta \), то \( 180^{\circ} - \alpha < 180^{\circ} - \beta \).

Наибольший внешний угол = \( 180^{\circ} - \beta \), наименьший внешний угол = \( 180^{\circ} - \alpha \).

\( \frac{180^{\circ} - \beta}{180^{\circ} - \alpha} = \frac{8}{5} \)

\( 5(180^{\circ} - \beta) = 8(180^{\circ} - \alpha) \)

\( 900^{\circ} - 5\beta = 1440^{\circ} - 8\alpha \)

\( 8\alpha - 5\beta = 540^{\circ} \)

\( \beta = 90^{\circ} - \alpha \).

\( 8\alpha - 5(90^{\circ} - \alpha) = 540^{\circ} \)

\( 8\alpha - 450^{\circ} + 5\alpha = 540^{\circ} \)

\( 13\alpha = 990^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{990}{13} \).

Условие задачи №13: \( 2:3 \). Больший острый угол 54. Меньший 36. Внешние углы: 126 и 144. Отношение 144/126 = 8/7. А нам нужно 8/5.

Давайте предположим, что одно из чисел 8 или 5 относится к внутренним углам, а другое к внешним. Но это противоречит условию.

Возможно, задача составлена некорректно, если не получается целого числа.

Попробуем другой подход. Пусть один из острых углов равен \( \alpha \), тогда другой \( 90 - \alpha \).

Внешние углы: \( 180 - \alpha \) и \( 180 - (90 - \alpha) = 90 + \alpha \).

Пусть \( \alpha \) — больший острый угол, тогда \( 90 - \alpha \) — меньший острый угол.

\( 180 - \alpha \) — меньший внешний угол, \( 90 + \alpha \) — больший внешний угол.

\( \frac{90 + \alpha}{180 - \alpha} = \frac{8}{5} \)

\( 5(90 + \alpha) = 8(180 - \alpha) \)

\( 450 + 5\alpha = 1440 - 8\alpha \)

\( 13\alpha = 1440 - 450 = 990 \)

\( \alpha = \frac{990}{13} \).

Пусть \( \alpha \) — меньший острый угол, \( 90 - \alpha \) — больший острый угол.

\( 180 - \alpha \) — больший внешний угол, \( 90 + \alpha \) — меньший внешний угол.

\( \frac{180 - \alpha}{90 + \alpha} = \frac{8}{5} \)

\( 5(180 - \alpha) = 8(90 + \alpha) \)

\( 900 - 5\alpha = 720 + 8\alpha \)

\( 900 - 720 = 13\alpha \)

\( 180 = 13\alpha \)

\( \alpha = \frac{180}{13} \).

Условие задачи №13: острые углы 36 и 54. Внешние углы: 144 и 126. Отношение 144:126 = 8:7. А нужно 8:5.

Это значит, что если острые углы 36 и 54, то отношение внешних углов 8:7. А в задаче 14 отношение 8:5.

Значит, задача 14 имеет другие значения острых углов.

Предположим, что отношение внешних углов 8:5 верно.

Пусть \( 180 - \alpha = 8k \) и \( 180 - \beta = 5k \).

\( \alpha = 180 - 8k \), \( \beta = 180 - 5k \).

\( \alpha + \beta = 90 \)

\( (180 - 8k) + (180 - 5k) = 90 \)

\( 360 - 13k = 90 \)

\( 13k = 270 \)

\( k = \frac{270}{13} \).

\( \alpha = 180 - 8 \cdot \frac{270}{13} = 180 - \frac{2160}{13} = \frac{2340 - 2160}{13} = \frac{180}{13} \).

\( \beta = 180 - 5 \cdot \frac{270}{13} = 180 - \frac{1350}{13} = \frac{2340 - 1350}{13} = \frac{990}{13} \).

\( \alpha + \beta = \frac{180 + 990}{13} = \frac{1170}{13} = 90 \). Проверка верна.

Меньший острый угол = \( \frac{180}{13} \).

Ответ: 180/13