14. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a + b}{2} ∙ h \] где a и b — основания, h — высота.

Известно:

• Меньшее основание a = 3.
• Большее основание b = 9.
• Угол при основании α = 45°.
• Трапеция равнобедренная.

Для нахождения высоты h, проведем из концов меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Получим два прямоугольных треугольника.

Длина большего основания равна сумме меньшего основания и двух отрезков, на которые разбивается большее основание:

\[ b = a + 2x \]

\[ 9 = 3 + 2x \]

\[ 2x = 9 - 3 \]

\[ 2x = 6 \]

\[ x = 3 \]

Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников. У него один катет — это высота h, другой катет — отрезок x = 3, а угол при основании равен 45°.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ \tan(45°) = \frac{h}{x} \]

\[ 1 = \frac{h}{3} \]

\[ h = 3 \]

Теперь можем вычислить площадь трапеции:

\[ S = \frac{3 + 9}{2} ∙ 3 \]

\[ S = \frac{12}{2} ∙ 3 \]

\[ S = 6 ∙ 3 \]

\[ S = 18 \]

Финальный ответ:

Ответ: 18