14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 20 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — два штрафных очка, за каждый последующий промах — на 0,5 штрафных очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 11 штрафных очков?

Пусть $$n$$ - количество промахов. Тогда штрафные очки за промахи образуют арифметическую прогрессию с первым членом $$a_1 = 2$$ и разностью $$d = 0.5$$. Сумма штрафных очков равна 11, то есть $$S_n = 11$$. Формула суммы арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$. Подставим известные значения: $$11 = \frac{2(2) + (n-1)0.5}{2} \cdot n$$. $$11 = \frac{4 + 0.5n - 0.5}{2} \cdot n$$. $$11 = \frac{3.5 + 0.5n}{2} \cdot n$$. $$22 = (3.5 + 0.5n)n$$. $$22 = 3.5n + 0.5n^2$$. Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$44 = 7n + n^2$$. $$n^2 + 7n - 44 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$D = 7^2 - 4(1)(-44) = 49 + 176 = 225$$. $$n_1 = \frac{-7 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-7 + 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$$. $$n_2 = \frac{-7 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-7 - 15}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$ (не подходит, так как число промахов не может быть отрицательным). Значит, количество промахов равно 4. Так как всего было 20 выстрелов, количество попаданий равно $$20 - 4 = 16$$. Ответ: 16