14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 20 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - два штрафных очка, за каждый последующий промах - на 0,5 штрафных очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 11 штрафных очков?

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей про стрельбу.

У нас есть серия из 20 выстрелов. Стрелок получил 11 штрафных очков.

Штрафные очки начисляются за промахи:

Это арифметическая прогрессия, где:

Нам нужно найти, сколько раз стрелок промахнулся, если общая сумма штрафных очков равна 11.

Пусть n - количество промахов.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$$ S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n $$

Подставляем наши значения:

$$ 11 = \frac{2 \cdot 2 + 0.5(n-1)}{2} \cdot n $$

$$ 11 = \frac{4 + 0.5n - 0.5}{2} \cdot n $$

$$ 11 = \frac{3.5 + 0.5n}{2} \cdot n $$

Умножим обе части на 2:

$$ 22 = (3.5 + 0.5n) \cdot n $$

$$ 22 = 3.5n + 0.5n^2 $$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ 0.5n^2 + 3.5n - 22 = 0 $$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$$ n^2 + 7n - 44 = 0 $$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac $$

Здесь a = 1, b = 7, c = -44.

$$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) $$

$$ D = 49 + 176 $$

$$ D = 225 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 $$

Найдем корни уравнения:

$$ n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 $$

$$ n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11 $$

Количество промахов не может быть отрицательным, поэтому n = 4.

Стрелок промахнулся 4 раза. Всего было 20 выстрелов.

Чтобы найти, сколько раз он попал в цель, вычтем количество промахов из общего числа выстрелов:

Количество попаданий = 20 - 4 = 16.

Ответ: 16