14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 50 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — два штрафных очка, за каждый последующий промах — на 0,5 штрафных очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 30 штрафных очков?

Для решения этой задачи нам нужно понять, сколько промахов сделал стрелок, а затем вычесть это количество из 50, чтобы узнать количество попаданий.

Пусть 'n' - количество промахов стрелка.

Штрафные очки за промахи образуют арифметическую прогрессию, где первый член 'a_1' = 2, а разность 'd' = 0.5.
Сумма штрафных очков за 'n' промахов выражается формулой:

$$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$

Известно, что общая сумма штрафных очков равна 30. Подставим значения и решим уравнение:

$$30 = \frac{n}{2} [2*2 + (n-1)0.5]$$
$$60 = n[4 + 0.5n - 0.5]$$
$$60 = n[3.5 + 0.5n]$$
$$60 = 3.5n + 0.5n^2$$
$$0.5n^2 + 3.5n - 60 = 0$$
Умножим на 2 для удобства:
$$n^2 + 7n - 120 = 0$$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*1*(-120) = 49 + 480 = 529$$
$$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
$$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$
Так как количество промахов не может быть отрицательным, берем n = 8. Значит, стрелок сделал 8 промахов.

Теперь найдем количество попаданий: 50 (все выстрелы) - 8 (промахи) = 42.

Ответ: 42