14. В треугольнике ABC AC = BC = 27, AH — высота, sin ∠BAC = 2/3. Найдите BH.

Так как AC = BC, треугольник равнобедренный, поэтому ∠BAC = ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике ABH: sin ∠ABH = AH/AB = sin ∠BAC = 2/3. Пусть AB = x; тогда AH = 2x/3.

По теореме Пифагора в треугольнике ACH: CH² = AC² − AH² = 27² − 4x²/9. Поскольку CH — высота к основанию равнобедренного треугольника, она делит AB пополам: BH = x/2. Из прямоугольного треугольника BCH получаем BC² = CH² + BH².

729 = 729 − 4x²/9 + x²/4, откуда 7x²/36 = 0. Это даёт x = 0, что невозможно для треугольника.

Ответ: условие противоречиво: невырожденного треугольника с указанными данными не существует.