16. В треугольнике ABC AC = BC = 27, AH — высота, cos ∠BAC = 2/3. Найдите BH.

Обозначим α = ∠BAC. Поскольку AC = BC, углы при основании равны, поэтому ∠ABC = α. В прямоугольном треугольнике ABH, cos α = BH/AB = 2/3. Пусть AB = x, тогда BH = 2x/3.

Так как ABH прямоугольный, AH = x√5/3. Высота из C к основанию AB делит его пополам: пусть K — середина AB, тогда AK = x/2. В прямоугольном треугольнике ACK имеем CK² = AC² − (x/2)².

Для вычисления BH используем теорему косинусов в ABC: AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos α. Подставим AC = BC = 27 и cos α = 2/3: 729 = x² + 729 − 36x, откуда x = 0 либо x = 36. Невырожденному треугольнику соответствует x = 36.

Тогда BH = 2x/3 = 24.

Ответ: 24.