15. В треугольнике ABC AC = BC = 4√15, cos ∠BAC = 0,25. Найдите высоту AH.

Так как AC = BC, углы при основании равны: ∠BAC = ∠ABC. Поэтому cos ∠ABC = 1/4.

В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB, а BH = AB · cos ∠ABC. Так как H лежит на BC, треугольник ABH прямоугольный в H, и AB² = AH² + BH². Однако из данных удобнее найти AH через площадь: высота AH к стороне BC удовлетворяет AH = AB · sin ∠ABC.

Пусть AC = BC = s = 4√15, а угол при основании равен α. Тогда по теореме синусов (или разложению равнобедренного треугольника) AB = 2s cos α. Следовательно, AH = AB sin α = 2s sin α cos α.

sin α = √(1 − cos² α) = √15/4. Поэтому AH = 2 · 4√15 · (√15/4) · (1/4) = 15/2.

Ответ: AH = 15/2.