14 Водитель автомобиля начал торможение. За первую секунду с начала торможения автомобиль проехал 18 м, за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Расстояние, пройденное автомобилем за каждую секунду, образует арифметическую прогрессию. Известно, что:

• Первый член прогрессии (расстояние за первую секунду): \( a_1 = 18 \) м.
• Разность прогрессии (на сколько меньше проезжал каждый раз): \( d = -3 \) м.

Чтобы найти общее расстояние до полной остановки, нужно найти сумму членов этой прогрессии до тех пор, пока расстояние за секунду не станет равным нулю или отрицательным (что означает остановку).

1. Найдем, через сколько секунд автомобиль остановится. Для этого найдем \( n \), при котором \( a_n \le 0 \).

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

\( 18 + (n-1)(-3) \le 0 \)

\( 18 - 3n + 3 \le 0 \)

\( 21 \le 3n \)

\( n \ge 7 \)

Значит, автомобиль остановится к 7-й секунде (или в конце 6-й секунды, проехав 0 метров в 7-ю секунду). Таким образом, нужно найти сумму первых 6 членов прогрессии.

2. Найдем расстояние, пройденное за 6-ю секунду:

\( a_6 = 18 + (6-1)(-3) = 18 + 5(-3) = 18 - 15 = 3 \) м.

3. Найдем сумму первых 6 членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \)

\( S_6 = \frac{18 + 3}{2} \cdot 6 = \frac{21}{2} \cdot 6 = 21 \cdot 3 = 63 \) м.

Ответ: 63 м.