14 За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 1500 рублей, а за каждое следующее кольцо платили на 100 рублей меньше, чем за предыдущее. Кроме того, за доставку колец с завода было уплачено 6000 рублей. Средняя стоимость доставки и установки кольца оказалась равна 2250 рублей. Сколько колец было установлено?

Пусть \(n\) — количество установленных колец.

Стоимость первого кольца: \(a_1 = 1500\) рублей.

Каждое следующее кольцо дешевле предыдущего на 100 рублей, значит, это арифметическая прогрессия с разностью \(d = -100\).

Стоимость \(n\)-го кольца: \(a_n = a_1 + (n-1)d = 1500 + (n-1)(-100) = 1500 - 100n + 100 = 1600 - 100n\).

Общая стоимость установки всех колец — это сумма арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \]

\[ S_n = \frac{1500 + (1600 - 100n)}{2} \times n \]

\[ S_n = \frac{3100 - 100n}{2} \times n \]

\[ S_n = (1550 - 50n)n = 1550n - 50n^2 \]

Общие затраты = стоимость установки колец + стоимость доставки.

Общие затраты = \(1550n - 50n^2 + 6000\) рублей.

Средняя стоимость одного кольца = \(\frac{\text{Общие затраты}}{\text{Количество колец}} = \frac{1550n - 50n^2 + 6000}{n}\).

По условию, средняя стоимость равна 2250 рублей:

\[ \frac{1550n - 50n^2 + 6000}{n} = 2250 \]

Умножим обе части на \(n\):

\[ 1550n - 50n^2 + 6000 = 2250n \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 50n^2 + 2250n - 1550n - 6000 = 0 \]

\[ 50n^2 + 700n - 6000 = 0 \]

Разделим все на 50:

\[ n^2 + 14n - 120 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4(1)(-120) = 196 + 480 = 676 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \]

Найдем \(n\):

\[ n_1 = \frac{-14 + 26}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ n_2 = \frac{-14 - 26}{2 \times 1} = \frac{-40}{2} = -20 \]

Поскольку количество колец не может быть отрицательным, то \(n = 6\).

Ответ: 6