15 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АВ длина боковой стороны равна 3, cos ∠C = −0,9, отрезок АН высота. Найдите длину отрезка ВН.

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AB\) боковые стороны \(AC = BC = 3\).

По теореме косинусов для треугольника \(ABC\):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos(\angle C) \]

\[ AB^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \times 3 \times 3 \times (-0.9) \]

\[ AB^2 = 9 + 9 - 18 \times (-0.9) \]

\[ AB^2 = 18 + 16.2 \]

\[ AB^2 = 34.2 \]

\[ AB = \sqrt{34.2} \]

Так как \(AH\) — высота, то \(\angle AHC = 90^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(AHC\):

\[ \cos(\angle A) = \frac{AH}{AC} \]

\[ \sin(\angle A) = \frac{HC}{AC} \]

В треугольнике \(ABC\) сумма углов:
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \].

Так как треугольник равнобедренный с основанием \(AB\), то
\[ \angle A = \angle B \].

\[ 2\angle A + \angle C = 180^\circ \]

\[ 2\angle A = 180^\circ - \angle C \]

Мы знаем, что \(\cos(\angle C) = -0.9\). Это означает, что угол \(C\) тупой (больше 90°). В равнобедренном треугольнике углы при основании должны быть острыми. Значит, основанием является сторона, противоположная углу C, то есть AB.

Найдем \(\sin(\angle C)\), так как \(\angle C\) тупой, \(\sin(\angle C)\) будет положительным:

\[ \sin^2(\angle C) + \cos^2(\angle C) = 1 \]

\[ \sin^2(\angle C) = 1 - (-0.9)^2 = 1 - 0.81 = 0.19 \]

\[ \sin(\angle C) = \sqrt{0.19} \]

По теореме синусов:

\[ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = 2R \]

Так как
\[ \angle A = \angle B \], то
\[ \sin(\angle A) = \sin(\angle B) \].

\[ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle A)} \]

\[ \sin(\angle A) = \frac{AC \times \sin(\angle C)}{AB} = \frac{3 \times \sqrt{0.19}}{\sqrt{34.2}} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(AHB\).
\[ \angle AHB = 90^\circ \].

\[ BH = AB \times \sin(\angle A) \]

Подставим значение
\[ \sin(\angle A) \]:

\[ BH = \sqrt{34.2} \times \frac{3 \times \sqrt{0.19}}{\sqrt{34.2}} \]

\[ BH = 3 \times \sqrt{0.19} \]

\[ BH = 3 \times \sqrt{\frac{19}{100}} = 3 \times \frac{\sqrt{19}}{10} \approx 3 \times \frac{4.359}{10} ≈ 1.3077 \]

Альтернативный подход:

Пусть \(AC=BC=3\) и \(\cos(\angle C) = -0.9\). Используем теорему косинусов для нахождения \(AB\):

\[ AB^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \times 3 \times 3 \times (-0.9) = 9 + 9 + 16.2 = 34.2 \]

\[ AB = \sqrt{34.2} \]

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) высота \(CH\) к основанию \(AB\) также является медианой, поэтому \(H\) — середина \(AB\). Однако, \(AH\) — высота, проведенная из вершины \(A\) к стороне \(BC\) (или ее продолжению, так как угол \(C\) тупой).

Поскольку \(\angle C > 90^\circ\), высота \(AH\) падает на продолжение стороны \(BC\). Треугольник \(AHC\) — прямоугольный с прямым углом \(H\). Угол \(\angle ACH = 180^\circ - \angle C\).

\[ \cos(\angle ACH) = \cos(180^\circ - \angle C) = -\cos(\angle C) = -(-0.9) = 0.9 \]

В прямоугольном треугольнике \(AHC\):

\[ HC = AC \times \cos(\angle ACH) = 3 \times 0.9 = 2.7 \]

\[ AH = AC \times \sin(\angle ACH) \]

\[ \sin(\angle ACH) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ACH)} =
\[ \sqrt{1 - 0.9^2} =
\[ \sqrt{1 - 0.81} =
\[ \sqrt{0.19} \]

\[ AH = 3 \times \sqrt{0.19} \]

Теперь рассмотрим треугольник \(BH A\). Угол \(\angle B\) равен углу \(\angle A\). Найдем \(\cos(\angle B)\) через теорему косинусов для треугольника \(ABC\):

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\angle B) \]

\[ 3^2 = 34.2 + 3^2 - 2 \times \sqrt{34.2} \times 3 \times \cos(\angle B) \]

\[ 9 = 34.2 + 9 - 6 \sqrt{34.2} \cos(\angle B) \]

\[ 0 = 34.2 - 6 \sqrt{34.2} \cos(\angle B) \]

\[ 6 \sqrt{34.2} \cos(\angle B) = 34.2 \]

\[ \cos(\angle B) = \frac{34.2}{6 \sqrt{34.2}} = \frac{\sqrt{34.2}}{6} \]

\[ \cos(\angle B) = \frac{5.848}{6} ≈ 0.9747 \]

В прямоугольном треугольнике \(AHB\), угол \(\angle H = 90^\circ\). Отрезок \(BH\) является проекцией \(AB\) на прямую \(BC\). Но \(AH\) — высота из \(A\) на \(BC\). Точка \(H\) лежит на продолжении \(BC\). То есть, \(C\) находится между \(B\) и \(H\) или \(B\) между \(C\) и \(H\).

В прямоугольном треугольнике \(AHB\):

\[ BH^2 = AB^2 - AH^2 \]

\[ BH^2 = 34.2 - (3 \sqrt{0.19})^2 \]

\[ BH^2 = 34.2 - 9 \times 0.19 \]

\[ BH^2 = 34.2 - 1.71 \]

\[ BH^2 = 32.49 \]

\[ BH = \sqrt{32.49} = 5.7 \]

Проверка:

В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=3\), \(\cos C = -0.9\). Угол \(C\) тупой. Высота \(AH\) проведена из \(A\) к стороне \(BC\) (или ее продолжению). Так как \(C\) тупой, \(H\) лежит на продолжении \(BC\) за точку \(C\). Таким образом, \(BH = BC + CH\).

В прямоугольном треугольнике \(AHC\) (угол \(H=90^\circ\)):

\[ CH = AC \times |\cos(\angle C)| = 3 \times |-0.9| = 3 \times 0.9 = 2.7 \]

Тогда \(BH = BC + CH = 3 + 2.7 = 5.7\).

Ответ: 5.7