140. Равносильны ли следующие неравенства: 1) $2x-1>2$ и $2(x-1)\ge1$; 2) $(x-1)(x+2)<0$ и $x^2+x<2$; 3) $(x-2)(x+1)<3x+3$ и $x-2<3$; 4) $x(x+3)\ge2x$ и $x^2(x+3)\ge2x^2$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 140. Равносильны ли следующие неравенства: 1) $2x-1>2$ и $2(x-1)\ge1$; 2) $(x-1)(x+2)<0$ и $x^2+x<2$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Первое неравенство даёт $x>\dfrac32$, а второе — $x\ge\dfrac32$. Множества решений различаются.
Не равносильны.
Первое неравенство уже разложено на множители. Его корни −2 и 1, поэтому решение: $-2<x<1$. Во втором переносим 2 влево: $x^2+x-2<0$, то есть $(x-1)(x+2)<0$. Решение то же.
Равносильны.
Раскрываем скобки и переносим всё влево: $x^2-x-2<3x+3$, значит $x^2-4x-5<0$, или $(x+1)(x-5)<0$. Решение первого неравенства: $-1<x<5$. Второе даёт $x<5$. Решения различаются.
Не равносильны.
В первом неравенстве $x^2+x\ge0$, поэтому $x\le-1$ или $x\ge0$. Во втором $x^2(x+1)\ge0$; с учётом $x^2\ge0$ его решение — $x=-0$ (то есть $x=0$) или $x\ge-1$, объединённо $[-1; +\infty)$. Множества решений различаются.
Не равносильны.

140. Равносильны ли следующие неравенства: 1) \(2x-1>2\) и \(2(x-1)\ge1\); 2) \((x-1)(x+2)<0\) и \(x^2+x<2\); 3) \((x-2)(x+1)<3x+3\) и \(x-2<3\); 4) \(x(x+3)\ge2x\) и \(x^2(x+3)\ge2x^2\)?